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结构、构件及其材料一体化设计的多尺度分析方法
崔 俊 芝
中国科学院数学与系统科学研究院，计算数学与科学工程计算所
随着结构工程、材料科学和计算科学的发展，结构、构件及其材料的一体化设计与优化已经提上日程，相应地需要有支持一体化设计的计算方法与软件。本文主要讨论支持结构、构件及其材料一体化（集成化）设计计算的多尺度分析方法及其算法过程。它是一种正在迅速发展中的工程数值方法。
1． 构、构件及其材料表示
用 表示结构， ，其中 表示组成结构的构件，它们或者由具有周期性基本构造的复合材料做成，或者由具有随机分布特征的复合材料做成，或者是一个具有小周期性构造的子结构。对于由周期性构造的复合材料所做成的构件
，其材料的细观具有相同的基本胞体，用 表示之，其材料参数分布可以表示为 ， 表示周期长度， << 1，
表示构件尺度。值得指出，对于某些周期性复合材料，其细观往往具有多层次的小尺度周期性，即存在 且 ， 是组成 的基本胞体。对于随机分布的颗粒增强复合材料，或材料受损伤而产生大量随机分布裂纹的情形，可以假定它们不确定地取值于某个小样品集合或服从于某种随机概率分布。对于后者，可以假定它们在某些统计窗意义下服从于周期性概率分布
， 表示概率空间， 表示统计窗口尺度；由于颗粒和裂纹的尺度与形态不一，且不同尺度和形态的颗粒或裂纹具有不同的概率分布，故对于具有随机分布特征的复合材料往往需要用多尺度随机统计模型来描述；即存在
且 ，对于尺度为 且 的颗粒或裂纹服从于一种周期性随机分布模型。
2． 位移解的双尺度表示
因为所有 都很小，且不同组份的材料常数差异很大，每个构件的材料常数在小尺度 意义下变化剧烈。故精确地分析这类结构在荷载作用下的热、力学行为，特别是局部的应力和应变与破坏行为，将十分困难。
为简便其间，下面假定结构仅包含两个尺度，即一个结构／构件尺度 与一个做成构件的材料的细观尺度 ；并且假定所有构件都是用具有周期性基本构造的复合材料做成。因为如果有某些构件是用具有随机分布特征的复合材料做成，分析则要繁琐和困难得多，必须采用统计加抽样的方法，需要用较大的篇幅独立描述材料特征，故本文将不涉及它们。对于这样的结构，其弹性静力问题的位移解可以给出如下的双尺度耦合渐进表示[1]
3． 和 的有限元计算
4． 和 的有限元计算
5．均匀化解 有限元计算
6．应变和应力的双尺度计算
因为应变和应力是局部物理量，结构上任一点 的应变和应力不仅与结构的宏观行为，即结构与构件的几何形状、荷载及约束条件有关，也与该点附近的材料组合有关，其近似值可以按如下双尺度耦合公式计算
7．多尺度分析（MSA）的计算过程
（1） 设计结构 及其构件 的几何形状，设计或选择做成每个构件的复合材料，确认每种复合材料的基本构造 及其材料参数分布
。
（2） 针对每个具有周期性构造特征的构件 ，使用有限元软件计算 。然后，计算相应的均匀化材料常数 。
（3） 利用（2）的有限元网格和刚度矩阵及其分解形式，递归地计算 和 。
（4） 对于整个结构 ，利用（2）对每个构件 计算的均匀化常数 ，使用高阶有限单元，计算均匀化结构的有限元位移解
。
（5） 根据双尺度耦合表示（3），（9）和（10）式，计算结构上任一点 处的位移、应变和应力。
（6） 分析结构的力学行为和强度特征；如果必要，返回（1），重新设计结构、构件及其材料，重复（2）-（6）的计算。
如果做成结构或构件的复合材料具有多尺度构造特征，则应该进行多尺度分析（MSA），即重复（2），（3）步的计算。
8．数值实验
9．结论
针对结构、构件及其材料一体化设计计算的多尺度分析方法及其有限元算法是一种发展中的工程分析方法，它将能够支持工程师进行结构、构件及其材料的一体化设计计算。
参考文献
1. Cui J.Z. Shih T.M. and Wang Y.L. (1997), "The Two-Scale
Analysis Method for Bodies With Small Periodic Configurations",
Structural Engineering and Mechanics, Vol.7, No.6, 601-614,
Invited Paper in CASCM-97, Sydney, Australia, Proc. of CASCM-97.
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